Hvad er sandsynligheden for, at to mennesker vælger det samme tal mellem 1-10?

Sandsynligheden for, at to mennesker vælger det samme nummer mellem 1 og 10, kan beregnes ved hjælp af grundlæggende sandsynlighedsteori. I denne situation antager vi, at valget af et nummer er en tilfældig begivenhed og uafhængig af andres valg. Det vil sige, at hvert nummer har en lige stor chance for at blive valgt.

Beregningsmetode:

1. Antal mulige udfald for en person: Der er 10 mulige numre, som en person kan vælge mellem (1, 2, 3, …, 10).
2. Antal mulige udfald for to personer: Hvis vi har to personer, ville antallet af mulige udfald for begge personer være $10\times 10=100$. Dette er fordi den første person har 10 valg, og den anden person også har 10 valg, hvilket giver 10 muligheder for den første person multipliceret med 10 muligheder for den anden person.
3. Antal gunstige udfald: Antallet af gunstige udfald, hvor begge personer vælger det samme nummer, er 10. Dette er fordi der er 10 måder, hvorpå begge personer kan vælge det samme nummer (begge vælger 1, begge vælger 2, …, begge vælger 10).
4. Beregning af sandsynlighed: Sandsynligheden for, at begge personer vælger det samme nummer, kan nu beregnes som følger:

Samme spørgsmål men for fire personer

Sandsynligheden for, at fire mennesker vælger det samme nummer mellem 1 og 10, kan beregnes ved at følge de samme grundlæggende principper for sandsynlighedsteori som tidligere. Vi antager fortsat, at valget af et nummer er en tilfældig begivenhed og uafhængig af andres valg. Det vil sige, at hvert nummer har en lige stor chance for at blive valgt.

Beregningsmetode:

1. Antal mulige udfald for en person: Der er 10 mulige numre, som en person kan vælge mellem (1, 2, 3, …, 10).
2. Antal mulige udfald for fire personer: Hvis vi har fire personer, ville antallet af mulige udfald for alle fire personer være $10\times 10\times 10\times 10=10,000$. Dette er fordi hver person har 10 valg, hvilket giver 10 muligheder for den første person multipliceret med 10 muligheder for den anden person, 10 muligheder for den tredje person, og 10 muligheder for den fjerde person.
3. Antal gunstige udfald: Antallet af gunstige udfald, hvor alle fire personer vælger det samme nummer, er 10. Dette er fordi der er 10 måder, hvorpå alle fire personer kan vælge det samme nummer (alle vælger 1, alle vælger 2, …, alle vælger 10).
4. Beregning af sandsynlighed: Sandsynligheden for, at alle fire personer vælger det samme nummer, kan nu beregnes som følger:

 

Hvad så med tre ud af fire personer vælger det samme tal fra 1-10?

Beregningen af sandsynligheden for, at tre ud af fire personer vælger det samme tal mellem 1 og 10, er en smule mere kompleks end de tidligere scenarier. Her skal vi tage højde for flere mulige udfald, hvor tre personer vælger det samme tal, og den fjerde person vælger et andet tal.

Beregningsmetode:

1. Antal mulige udfald for en person: Der er 10 mulige numre, som en person kan vælge mellem (1, 2, 3, …, 10).
2. Antal mulige udfald for fire personer: Antallet af mulige udfald for alle fire personer er $10\times 10\times 10\times 10=10,000$.
3. Antal gunstige udfald: For at finde antallet af gunstige udfald, hvor tre personer vælger det samme nummer, og den fjerde vælger et andet nummer, skal vi overveje følgende:
   • Der er 10 måder at vælge det tal, som de tre personer vil vælge.
   • Der er 9 måder at vælge det tal, som den fjerde person vil vælge (da det skal være forskelligt fra det tal, de tre andre har valgt).
   • Der er 4 måder at vælge, hvilken af de fire personer der vælger det forskellige tal.

   Så antallet af gunstige udfald er $10\times 9\times 4=360$.

4. Beregning af sandsynlighed: Sandsynligheden for, at tre ud af fire personer vælger det samme nummer, kan nu beregnes som følger:

 

Konklusion:

Sandsynligheden for, at to mennesker vælger det samme nummer mellem 1 og 10 er 0,1 eller 10%. Dette er en simpel beregning, der antager, at valget af numre er tilfældigt og uafhængigt.

 

Kilder:

• Grinstead, C. M.; Snell, J. L. (1997). “Introduction to Probability”. American Mathematical Society.
• Ross, Sheldon (2014). “A First Course in Probability” (9th ed.). Pearson.

Vær opmærksom på, at beregningne er baserede på en idealiseret model og antager perfekt tilfældighed og uafhængighed i valget af numre.